游戏每关将从三种类型的函数 ? ：一元函数 •: R→R、二元函数 ψ: R×R→R、自然数数列 φ: N→N 中给出一到三种，但不给出具体的计算规则。
玩家需要猜测函数的计算规则，使用计算器上的可用按键与给出的 所有 函数，组合出计算结果为 666 的表达式。在 DLC 关卡中，目标计算结果可能有改变。

本指南中，三种函数分别记作 •x、xψy 和 φx，运算优先级为先 • 后 φ 再 ψ，其解析式使用 Wolfram 语言书写，部分给出自然语言描述或 OEIS 数列编号。
本指南中，给出的函数计算规则不保证在整个定义域上正确。题目答案不唯一。

一些参考网站：

• OEIS[oeis.org]：全称 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences（在线整数数列百科），可通过输入数列的其中几项查询数列，并支持使用 _ 或 ? 作为通配符模糊搜索。
  
• Wolfram Alpha[www.wolframalpha.com]：一款在线计算知识引擎，可使用自然语言查找各种问题的答案。目前不支持中文。
  
• What's Special About This Number?[erich-friedman.github.io]：由 Erich Friedman 维护的一个网页，列举了从 0 到 9999 各自然数的有趣性质。游戏中出现的随机 Math Fact 均来源于此。
  OeisWiki 上有加注的版本[oeis.org]，补充了更多有趣性质以及相关的 OEIS 数列。

不过对游戏的帮助其实并不大。

Lv. 1
•x = x + 4
参考答案： •662

Lv. 2
•x = 100x
参考答案： •6.66

Lv. 3
•x = -1/2 x
参考答案： •-1332

Lv. 4
•x = 2x + 6
参考答案： •330

Lv. 5
•x = x + 11
禁用按键：[5]
参考答案： ••644

Lv. 6
•x = 2x
禁用按键：[3]
参考答案： ••166.5

Lv. 7
•x = 2x + 6
禁用按键：[3]
参考答案： ••162

Lv. 8
•x = Sign[First[IntegerDigits[x]] - 3] ToExpression[StringJoin[ToString /@ Abs[Sign[x] IntegerDigits[x] - 3]]] (* 在十进制下，求 x 各数位（如果 x < 0，则认为各数位均为负数）与 3 差的绝对值并拼接起来，取 x 的最高位减 3 的差的符号。例如：•-126 = (-1 - 3)'|-2 - 3|'|-6 - 3| = -459。 *)
禁用按键：[.] [+-]
参考答案： •999

Lv. 9
•x = If[Mod[x, 2] == 0, -3x, x - 83] (* 若 x 为偶数，则函数值为 -3x，否则为 x - 83。 *)
禁用按键：[.] [4] [8]
参考答案： •-222

Lv. 10
•x = 5/9 x - 17 - 7/9
参考答案： •1230.8

Lv. 11
•x = Sign[First[IntegerDigits[x]] - 5] ToExpression[StringJoin[ToString /@ Abs[Sign[x] IntegerDigits[x] - 5]]] (* 在十进制下，求 x 各数位（如果 x < 0，则认为各数位均为负数）与 3 差的绝对值并拼接起来，取 x 的最高位减 3 的差的符号。例如：•-114 = (-1 - 5)'|-1 - 5|'|-4 - 5| = -669。 *）
禁用按键：[.]
参考答案： -•-111

Lv. 12
•x = If[Mod[x, 2] == 0, -3x, x - 83] (* 若 x 为偶数，则函数值为 -3x，否则为 x - 83。 *)
禁用按键：[.] [2] [4] [8]
参考答案： ••-139

Lv. 13
•x = 2x + 6
禁用按键：[0] [1]
参考答案： •••78

Lv. 14
•x = FromDigits[IntegerDigits[x], 2] (* 将 x 视为二进制数。 *)
禁用按键：[.] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
参考答案： •1010011010

Lv. 15
•x = FromDigits[IntegerDigits[x, 8], 10] (* 将十进制数 x 转为八进制数的结果视为十进制数。 *)
参考答案： •438

Lv. 16
•x = If[Mod[x, 2] == 0, -3x, x - 83] (* 若 x 为偶数，则函数值为 -3x，否则为 x - 83。 *)
禁用按键：[.] [2] [4] [5]
参考答案： ••-139

Lv. 17
•x = 2x + 6
禁用按键：[0] [2] [3] [8]
参考答案： •••••15

Lv. 18
xψy = x / y
禁用按键：[1] [3]
参考答案： 2664ψ4

Lv. 19
xψy = -xy
禁用按键：[.] [1] [2]
参考答案： -74ψ9

Lv. 20
xψy = 20x + 2y
参考答案： 33ψ3

Lv. 21
xψy = 1/2 (x + y)
禁用按键：[6]
参考答案： 333ψ999

Lv. 22
xψy = xy
禁用按键：[.] [1] [2] [5] [9]
参考答案： 3ψ6ψ37

Lv. 23
xψy = x^2 + y^2
禁用按键：[.]
参考答案： 15ψ21

Lv. 24
xψy = x(y - 1)
禁用按键：[2] [6]
参考答案： 18ψ38

Lv. 25
xψy = x(y - x)
禁用按键：[5] [7]
参考答案： 9ψ83

Lv. 26
xψy = x^(1 / y)
禁用按键：[1]
参考答案： 443556ψ2

Lv. 27
xψy = Sum[i, {i, Ceiling[x], Floor[y}] (* 所有满足 x <= i <= y 的整数 i 之和。 *)
禁用按键：[6]
参考答案： 221ψ223

Lv. 28
xψy = ToExpression[ToString[x] <> ToString[y]] / 2 (* 在十进制下，将 x, y 拼接起来再除以 2。 *)
禁用按键：[3]
参考答案： 26ψ6ψ2

Lv. 29
xψy = Mod[x, y] (* x 除以 y 的余数。 *)
禁用按键：[6]
参考答案： 1887ψ1221

Lv. 30
xψy = x^3 + y^3 + 1
禁用按键：[.]
参考答案： -4ψ9

Lv. 31
xψy = xy - 5
禁用按键：[.] [3] [6]
参考答案： 2ψ19ψ2ψ11

Lv. 32
xψy = FromDigits[Select[IntegerDigits[x, y], # < 10 &]] (* 将十进制数 x 转为 y 进制数的结果，去除非十进制数位后，视为十进制数。 *)
禁用按键：[6]
参考答案： 342ψ7

Lv. 33
xψy = Sum[i, {i, Ceiling[x], Floor[y}] (* 所有满足 x <= i <= y 的整数 i 之和。 *)
禁用按键：[1] [6]
参考答案： 70ψ78

Lv. 34
xψy = 1/2 (x + y)
禁用按键：[1] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
参考答案： 2ψ2202ψ222ψ222ψ2222ψ0

Lv. 35
xψy = Binomial[x, y] (* 组合数 / 二项式系数 xCy。 *)
参考答案： 37ψ2

Lv. 36
xψy = Times @@ IntegerDigits[x] + Times @@ IntegerDigits[y] (* 在十进制下，x 的各数位之积与 y 的各数位之积的和。 *)
禁用按键：[1] [4] [6] [8] [9]
参考答案： 2223333ψ233

Lv. 37
•x = x^4
xψy = x + y
参考答案： 666ψ•0

Lv. 38
•x = 100x
xψy = x / y
禁用按键：[.] [2] [4] [6]
参考答案： •(333ψ50)

Lv. 39
•x = FromDigits[IntegerDigits[x, 7]] (* 将十进制数 x 转为七进制数的结果视为十进制数。 *)
xψy = xy
禁用按键：[1] [4]
参考答案： •(6ψ57)

Lv. 40
•x = Sqrt[x] (* x 的算术平方根。 *)
xψy = x + 11y
禁用按键：[6]
参考答案： •(3ψ3)→M1, 589ψ1ψM1

Lv. 41
•x = 10x
xψy = x / y
禁用按键：[.] [2] [4] [6]
参考答案： •(333ψ5)

Lv. 42
•x = IntegerReverse[x] (* 将十进制数 x 的各数位颠倒。 *)
xψy = xy
禁用按键：[2] [4] [5] [6] [9]
参考答案： •(3ψ3ψ3ψ3)ψ37

Lv. 43
•x = FromDigits[IntegerDigits[x, 7]] (* 将十进制数 x 转为七进制数的结果视为十进制数。 *)
xψy = xy
禁用按键：[1] [2] [4] [5] [6] [7]
参考答案： ••••30ψ3

Lv. 44
•x = -5x
xψy = ToExpression[ToString[x] <> ToString[y]] (* 在十进制下，将 x, y 拼接起来。 *)
禁用按键：[6]
参考答案： •-1.2→M1, M1ψM1ψM1

Lv. 45
•x = x - 10
xψy = x! - y!
禁用按键：[.]
参考答案： •••(6ψ4)

Lv. 46
•x = x!
xψy = Mod[x, y] (* x 除以 y 的余数。 *)
禁用按键：[.] [6]
参考答案： 1887ψ1221ψ•7

Lv. 47
•x = Sqrt[x] (* x 的算术平方根。 *)
xψy = x + 11y
禁用按键：[6] [8] [9]
参考答案： •(3ψ3)→M1, 545ψ5ψM1

Lv. 48
•x = -1/2 x
xψy = 30x + 3y
参考答案： •0ψ222

Lv. 49
•x = Log[x] / Log[10]
xψy = x(5 + y)
禁用按键：[3] [6]
参考答案： 222ψ•0.01

Lv. 50
•x = -1/2 x
xψy = 30x + 3y
禁用按键：[4] [8]
参考答案： •0ψ222

Lv. 51
φx = A002113 十进制下的回文数列
参考答案： φ77

Lv. 52
φx = A000217 自然数的前缀和数列
参考答案： φ36

Lv. 53
φx = A000217 自然数的前缀和数列
禁用按键：[6]
参考答案： φφ8

Lv. 54
xψy = xy + 1
φx = A000796 圆周率的十进制展开
禁用按键：[3] [6] [7]
参考答案： 11ψ12ψφ4

Lv. 55
xψy = x(y + 5)
φx = A000040 质数数列
参考答案： φ2ψ217

Lv. 56
•x = Times @@ IntegerDigits[x] (* 十进制下 x 的各数位之积。 *)
φx = A000217 自然数的前缀和数列
禁用按键：[4] [6] [8]
参考答案： φ•229

Lv. 57
•x = x - 5
φx = A000040 质数数列
禁用按键：[2] [3]
参考答案： •••••φ•••••150

Lv. 58
•x = x - 0.1
φx = A006257 约瑟夫问题
禁用按键：[8]
参考答案： ••••••••••φ1357

Lv. 59
•x = 4x + 2
φx = A000040 质数数列
禁用按键：[4]
参考答案： ••φ13

Lv. 60
•x = 1221x
xψy = x / y
φx = A000045 斐波那契数列
禁用按键：[.]
参考答案： •666ψφ1ψ1221

Lv. 61
•x = x^(1/6)
xψy = ToExpression[ToString[x] <> ToString[y]] 2 (* 在十进制下，将 x, y 拼接起来再乘以 2。 *)
φx = A006257 约瑟夫问题
禁用按键：[3]
参考答案： •729ψφ48

Lv. 62
•x = 3x
xψy = Sum[i, {i, Ceiling[x], Floor[y}] (* 所有满足 x <= i <= y 的整数 i 之和。 *)
φx = A000073 Tribonacci 数列
禁用按键：[0] [1] [4]
参考答案： •(φ8ψ26ψ73)

Lv. 63
•x = IntegerReverse[x] (* 将十进制数 x 的各数位颠倒。 *)
xψy = Plus @@ Select[Range[Ceiling[x], Floor[y]], PrimeQ[#] &] (* 所有满足 x <= i <= y 的质数 i 之和。 *)
φx = A235228 十进制下各数位之和为 18 的自然数数列
禁用按键：[2]
参考答案： φ•(19ψ30)

Lv. 64
•x = 1/2 (Sqrt[8x + 1] - 1) (* 关于 y 的方程 y^2 + y - 2x == 0 的正根。 *)
xψy = ToExpression[ToString[y] <> ToString[x]] (* 在十进制下，将 y, x 拼接起来。 *)
φx = A010785 十进制下各数位相同的自然数数列
禁用按键：[2] [3]
参考答案： •6ψ••6→M1, φM1

Lv. 65
•x = Length[FactorInteger[x]] (* A001222 自然数的质因数个数数列。此外，若 x 非正数，则函数未定义；若 x 为正小数，则函数值为 1。 *)
xψy = 7/4 y
φx = A024450 质数平方的前缀和数列
禁用按键：[1] [4]
参考答案： φ(2ψ•36)

Lv. 66
•x = Floor[1000 Random[]] (* 你管随机数叫函数是吧？ *)
xψy = y - 2
φx = A005900 Octahedral 数列
禁用按键：[3] [8]
参考答案： •0ψφ11→M1, •0ψM1

Lv. 67
•x = -4x + 2
xψy = Log[x] / Log[y]
φx = A002193 根号 2 的十进制展开
禁用按键：[2]
参考答案： ••••(64ψφ1)

Lv. 68
•x = Plus @@ IntegerDigits[x] (* 十进制下 x 的各数位之和。 *)
xψy = 10^x + y
φx = A001248 质数平方数列
禁用按键：[.] [3] [7]
参考答案： •2ψφ8→M1, 2ψM1→M1, 2ψM1→M1, 0ψM1→M1, 0ψM1→M1, 0ψM1→M1, 0ψM1→M1, 0ψM1→M1

DLC Lv. 1
•x = Length[DeleteDuplicates[IntegerDigits[x]]] (* 十进制下 x 的不重复数位数目。 *)
xψy = 3xy
禁用按键：[.] [3]
目标结果：10
参考答案： •(401152266ψ1)
提示：
10 不含因数 3，本题只能使用整数，因此不能通过 ψ 函数得到 10，只能通过 • 函数得到。
设答案为 •a，根据 • 函数的计算规则，整数 a 的各数位应完整包含 0 ~ 9，即 a 是所谓的 全数字（Pandigital Numbers）。但本题不能直接输入 3，所以需要使用 ψ 函数得到 a。
假设 a 恰好是十位数，则 a 的各数位之和为 45，所以 a 是 3 的倍数。因此，有可能存在十位数 a，它的 1/3 是不包含数位 3 的整数，则此时答案形如 •((a/3)ψ1)。使用下面的 Wolfram 代码即可搜索满足条件的 a/3。

(* 从 OEIS A050278 下 Robert G. Wilson v 所贡献代码的基础上修改得到 *) Select[ Select[FromDigits[#] & /@ Permutations[Range[0, 9]], # > 10^9 &, 40500] / 3, Not[MemberQ[IntegerDigits[#], 3]] & ]

DLC Lv. 2
•x = 4 Plus @@ (Switch[Mod[#, 4], 0, 0, 1, 1, 2, 0, 3, -1] & /@ Divisors[x]) (* 以原点为圆心，Sqrt[x] 为半径的圆上的格点数。 *)
xψy = Module[{a, b, Q}, {a, b, Q} = {Max[x, y], Min[x, y], {}}; If[b == 0 || Mod[a, b] == 0, Return[{}]]; While[b != 0, {a, b, Q} = {b, Mod[a, b], Join[Q, {Floor[a / b]}]}]; Return[ToExpression[StringJoin[ToString /@ Q]]]] (* 在十进制下对 x, y 进行欧几里得算法，将所有带余除法的商拼接起来。 *)
禁用按键：[.] [9]
目标结果：40
参考答案： •(278ψ32)
提示：
关于 • 函数，见 3Blue1Brown 的视频《隐藏在素数规律中的 π》。
由欧几里得算法的过程可知 ψ 函数值的最后一位一定不是 0，因此目标 40 只能通过 • 函数得到。通过上述视频所述方法，易知 •8125 = •(5^4 * 13) = 4(4 + 1)(1 + 1) = 40，只要找满足 xψy = 8125 的 x, y 即可。
考虑将 8125 拆分为 8'1'2'5，假设 gcd(x, y) = 1，由欧几里得算法过程知 x = 139, y = 16。本题不能直接输入 9，因此将它们同时扩大 2 倍，有 x = 278, y = 32。

DLC Lv. 3
•x = x + IntegerReverse[x] (* A056964 十进制下 x 和 x 各数位颠倒的结果之和。 *)
禁用按键：[.] [0]
目标结果：1010
参考答案： •••151
提示：

{Target, Satis} = {{1010}, {}}; While[Target != {} && Satis == {}, Target = Select[Range[100, 1000], MemberQ[Target, # + IntegerReverse[#]] &]; Satis = Select[Target, !MemberQ[IntegerDigits[#], 0] &]; ] Satis

DLC Lv. 4 * 建议直接跳过该题
xψy = 一个神秘的函数，其自变量和函数值是国际象棋棋盘坐标，xψy 表示白方第一步将 x 处的棋子移动到 y 处，返回值表示黑方的移动，其规则可能与开发者另一款游戏《Lazy Chess》有关。第一步只有 20 种移动方法，所以可以穷举。
φx = A027751 自然数真因数之和加一
禁用按键：[.] [0] [9]
目标结果：800
参考答案： φφ(52ψ53)

DLC Lv. 5
•x = Floor[x 10^-6] + Mod[x, 10^6] (* 十进制下 x 的最低 6 位与其他位之和。 *)
xψy = Boole[Sort[IntegerDigits[x]] == Sort[IntegerDigits[y]]] (* 如果十进制下 x, y 含有的各数位一致，则函数值为 1，否则为 0。 *)
φx = Floor[10^5 (Random[] + 1)] x (* 100000 ~ 199999 范围内的随机数与 x 的积。 *)
禁用按键：[.] [0] [3] [6] [9]
目标结果：1
参考答案： (•φ142857)ψ(•φ142857) 或 依次按下 φ1ψφ1=•1
提示： 在十进制下，142857 的 1 ~ 6 倍是 142857 的重新排列。

DLC Lv. 6
•x = FromDigits[Select[IntegerDigits[x, 666], # < 10 &]] (* 将十进制数 x 转为 666 进制数的结果，去除非十进制数位后，视为十进制数。 *)
禁用按键：[.] [1] [9]
参考答案： •2665338

DLC Lv. 7
•x = Module[{y}, y = x; While[y >= 10, y = Times @@ IntegerDigits[y]]; Return[y]] (* 在十进制下，不断求 x 的各数位积，直到得到一位数为止。 *)
禁用按键：[.] [1] [2] [9]
目标结果：4
参考答案： •333
提示：

f[x_] := Module[{y}, y = x; While[y >= 10, y = Times @@ IntegerDigits[y]]; Return[y]]; Select[Range[10, 1000], f[#] == 4 && Intersection[IntegerDigits[#], {1, 2, 9}] == {} &]

DLC Lv. 8
•x = 2^x
xψy = FromDigits[Select[IntegerDigits[x, y], # < 10 &]] (* 将十进制数 x 转为 y 进制数的结果，去除非十进制数位后，视为十进制数。 *)
φx = A000396 完美数数列
禁用按键：[.]
参考答案： 24966ψ(•φ1)

DLC Lv. 9
•x = FromDigits[IntegerDigits[x], 1.5] (* 将 x 视为 1.5 进制数。 *)
禁用按键：[.] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
参考答案： •21011002211200
提示：

Select[IntegerDigits[Range[3 10^6, 4 10^6], 3], FromDigits[#, 1.5] == 666 &]

DLC Lv. 10
xψy = BitOr[x, y] (* x, y 的按位或。 *)
禁用按键：[6] [8]
参考答案： 512ψ154

DLC Lv. 11
•x = If[Mod[x, 2] == 0, x / 2, 3x + 1] (* A006370 Collatz 映射 *)
禁用按键：[.] [0] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [9]
目标结果：1984
参考答案： ••••881

DLC Lv. 12
•x = A001462 Golomb 数列 * 注意该函数使用递归实现，x 较大或为零时会爆栈
φx = Floor[GoldenRatio^(2 - GoldenRatio) x^(GoldenRatio - 1)] (* Golomb 数列的近似 *)
禁用按键：[.] [3]
参考答案： •φφ192400000000

DLC Lv. 13
•x = Module[{L}, L = Sign @@ (Join[{0}, IntegerDigits[x]] - Join[IntegerDigits[x], {0}])[[2 ;; -2]]; Return[100 Count[L, -1] + 10 Count[L, 0] + Count[L, 1]]] (* 十进制数 x 的每相邻两位（可重叠）中，高位小于、等于、大于低位的组数分别乘以 100、10、1 的积之和。 *)
禁用按键：[.] [+-]
参考答案： •1234567777777654321

DLC Lv. 14
•x = 1 + 5/7 x
xψy = xy
禁用按键：[3] [4] [7]
参考答案： ••(21ψ62)

DLC Lv. 15
xψy = 将十进制数 x 转为 y 进制的结果 r 看作十进制数，当 r 含有非十进制数位时函数值未定义，y 可以是负整数。
禁用按键：[.] [0] [1] [8] [9]
参考答案： 2ψ2→M1, 746ψ-M1

DLC Lv. 16
xψy = 3(x + y)
禁用按键：[.] [1] [5] [6] [7]
目标结果：42
参考答案： 38ψ-24

DLC Lv. 17
•x = Module[{L, b}, L = IntegerDigits[x]; b = Abs[L[[1]] - L[[-1]]]; b = If[b == 0, 10, b]; Return[FromDigits[L[[2 ;; -2]], b]]] (* 将十进制数 x 的次高位到次低位看作 b 进制数，并转为十进制数。其中，如果 x 的最高位与最低位差的绝对值 c 非零，则 b = c，否则 b = 10。当 b = 1 时函数值未定义。 *)
禁用按键：[.]
参考答案： •66666